La fonction \(f(z)=\overline{z}\) n’est nulle part dérivable au sens complexe (et donc nulle part holomorphe): car \[\frac{1}{h} (f(z+h)-f(z))=\frac{\overline{h}}{h}\] et la limite de cette expression n’existe pas lorsque \(h\to 0\). Remarque. Plus généralement, une application \(\R\)–linéaire de \(\C\) dans \(\C\) est de la forme \[\begin{equation}\label{eq::1} w\mapsto \alpha w +\beta \overline{w} \end{equation}\] (ce n’est qu’une écriture complexe des applications linéaires de \(\R^2\) dans \(\R^2\)) ; une telle application est holomorphe si et seulement si \(\beta =0\). C’est exactement la différence entre différentiabilité (donc réelle) et holomorphie (dérivabilité au sens complexe). En effet, les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l’équation \(\frac{\partial}{\partial \overline{z}} f(z) =0\) où \(\frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right)\). C’est une réécriture complexe des équations de Cauchy-Riemann. Si vous avez une fonction \(f\) différentiable, alors sa différentielle \(D f(z)\) est une application linéaire de la forme [eq::1]. Un calcul simple montre que dans ce cas \[\beta = \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (z) \quad et \quad \alpha = \frac{\partial f}{\partial z} (z)\] avec \(\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)\). De nouveau, \(f\) est complexe différentiable en \(z\) si et seulement si \(\beta =\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (z)=0\). Dans ce cas \(f'(z) = \frac{\partial f}{\partial z} (z)\). Revenons à l’exercice. Si vous êtes d’accord avec ma remarque, alors nous sommes aussi d’accord sur le fait que : \[z\mapsto x =\frac{z+\overline{z}}{2}\] n’est pas holomorphe. Ce raisonnement s’applique aussi à \(z\mapsto y\). Nous reviendrons à ce genre d’applications dans l’exercice [ex:burnol1.1.10].

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