La fonction $f(z)=\overline{z}$ n’est nulle part dérivable au sens complexe (et donc nulle part holomorphe): car $\frac{1}{h} (f(z+h)-f(z))=\frac{\overline{h}}{h}$ et la limite de cette expression n’existe pas lorsque $h\to 0$ . Remarque. Plus généralement, une application $\R$ –linéaire de $\C$ dans $\C$ est de la forme $\begin{equation}\label{eq::1} w\mapsto \alpha w +\beta \overline{w} \end{equation}$ (ce n’est qu’une écriture complexe des applications linéaires de $\R^2$ dans $\R^2$ ) ; une telle application est holomorphe si et seulement si $\beta =0$ . C’est exactement la différence entre différentiabilité (donc réelle) et holomorphie (dérivabilité au sens complexe). En effet, les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l’équation $\frac{\partial}{\partial \overline{z}} f(z) =0$ où $\frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right)$ . C’est une réécriture complexe des équations de Cauchy-Riemann. Si vous avez une fonction $f$ différentiable, alors sa différentielle $D f(z)$ est une application linéaire de la forme [eq::1]. Un calcul simple montre que dans ce cas $\beta = \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (z) \quad et \quad \alpha = \frac{\partial f}{\partial z} (z)$ avec $\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)$ . De nouveau, $f$ est complexe différentiable en $z$ si et seulement si $\beta =\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (z)=0$ . Dans ce cas $f'(z) = \frac{\partial f}{\partial z} (z)$ . Revenons à l’exercice. Si vous êtes d’accord avec ma remarque, alors nous sommes aussi d’accord sur le fait que : $z\mapsto x =\frac{z+\overline{z}}{2}$ n’est pas holomorphe. Ce raisonnement s’applique aussi à $z\mapsto y$ . Nous reviendrons à ce genre d’applications dans l’exercice [ex:burnol1.1.10].

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