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On se donne deux séries entières $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ et $g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ de rayons de convergences $R_1$ et $R_2$ non nuls. En utilisant le théorème sur les séries doubles prouver $f(z)g(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ pour $|z|<R = \min(R_1,R_2)$ avec (formules dites de Cauchy): $$\forall n\in\Nn\qquad c_n = \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j}$$ Le rayon de convergence de la série $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ est-il toujours égal à $\min(R_1,R_2)$ ou peut-il être plus grand?