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[ex:burnol1.1.6] On se donne deux séries entières \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n\) et \(g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^n\) de rayons de convergences \(R_1\) et \(R_2\) non nuls. En utilisant le théorème sur les séries doubles prouver \(f(z)g(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n\) pour \(|z|<R = \min(R_1,R_2)\) avec (formules dites de Cauchy): \[\forall n\in\Nn\qquad c_n = \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j}\] Le rayon de convergence de la série \(\sum_{n=0}^\infty c_n z^n\) est-il toujours égal à \(\min(R_1,R_2)\) ou peut-il être plus grand?