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Montrer qu’une fonction holomorphe sur un ouvert $D$ de $\Cc$ qui ne prend que des valeurs réelles est localement constante.

Que dire d’une fonction holomorphe sur un ouvert de $\Cc$ dont la partie réelle est constante ?

Que dire d’une fonction holomorphe $f=u+iv$ sur un ouvert de $\Cc$ dont la conjuguée $\overline{f}:=u-iv$ est aussi holomorphe ?

Montrer qu’une fonction holomorphe qui ne prend que des valeurs de module $1$ est localement constante.