1
Soit \(U=\{z=x+iy\in{\Cc}\ ;\ -\pi<x<\pi,\ y\in \Rr\}\). Soit \(P(x,y)={\sin x\over \cos x+\cosh y}\) pour \(z\in U\). Montrer qu’il existe \(f\in H(U)\) unique telle que \(f(0)=0\) et \(P=\Re f\).
2
Soit \(a,b,c\in\Rr\). On pose \(P(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2\) pour \(x,y\in\Rr\).
Donner une CNS pour qu’il existe \(f\in H({\Cc})\) telle que \(P=\Re f\). Sous cette condition trouver alors toutes les applications \(f\in H({\Cc})\) telles que \(P=\Re f\).