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On considère la série entière $\sum_{k=0}^\infty z^{2^k}$. Quel est son rayon de convergence? On note $f(z)$ sa somme. Que vaut $\lim_{t\to1} f(t)$? (on prend $0<t<1$; minorer $f$ par ses sommes partielles). Plus généralement que vaut $\lim_{t\to1} f(tw)$ (ici encore $t$ est pris dans $]0,1[$), lorsque $w$ vérifie une équation $w^{2^N} = 1$? En déduire qu’il est impossible de trouver un ouvert $U$ connexe intersectant $D(0,1)$ mais non inclus entièrement dans $D(0,1)$ et une fonction holomorphe $g(z)$ sur $U$ tels que $g = f$ sur $U\cap D(0,1)$. Pour tout $z_0\in D(0,1)$ déterminer alors le rayon de convergence de la série de Taylor de $f$ au point $z_0$.