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On considère la série entière \(\sum_{k=0}^\infty z^{2^k}\). Quel est son rayon de convergence? On note \(f(z)\) sa somme. Que vaut \(\lim_{t\to1} f(t)\)? (on prend \(0<t<1\); minorer \(f\) par ses sommes partielles). Plus généralement que vaut \(\lim_{t\to1} f(tw)\) (ici encore \(t\) est pris dans \(]0,1[\)), lorsque \(w\) vérifie une équation \(w^{2^N} = 1\)? En déduire qu’il est impossible de trouver un ouvert \(U\) connexe intersectant \(D(0,1)\) mais non inclus entièrement dans \(D(0,1)\) et une fonction holomorphe \(g(z)\) sur \(U\) tels que \(g = f\) sur \(U\cap D(0,1)\). Pour tout \(z_0\in D(0,1)\) déterminer alors le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) au point \(z_0\).