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Soient $\rho$ un réel strictement positif, $z$ et $w$ des nombres complexes tels que $\vert z\vert >\rho$ et $\vert w\vert >\rho$, et $n$ un entier naturel.

Montrer que $$\left\vert {1\over w^n}-{1\over z^n}\right\vert\le \vert z-w\vert {n\over \rho ^{n+1}}$$ et que $$\left\vert {1\over z-w}\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right)-{n\over z^{n+1}}\right\vert = \left\vert\sum_{k=1}^n\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right){1\over z^{n-k+1}}\right\vert \le \vert z-w\vert {n^2\over \rho ^{n+2}}$$

Soient maintenant $\sigma$ et $\phi$ deux fonctions continues à valeurs complexes définies sur un intervalle $I=[a,b]$. On fixe un point $z\in \C\setminus \sigma (I)$ et on pose $\rho ={1\over 2}\inf_{a\le t\le b}\vert \sigma (t)-z\vert$.

Soit $\displaystyle g(z)=\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^n}dt$. En remplaçant dans a) $z$ par $\sigma (t)-z$ et $w$ par $\sigma (t)-z-h$ avec $\vert h\vert <\rho$, montrer que $$\left\vert {g(z+h)-g(z)\over h}-n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt\right\vert\le {\vert h\vert n^2\over \rho ^{n+2}}\int_a^b\vert \phi (t)\vert dt$$

En déduire que $g(z)$ est holomorphe sur $\C\setminus \sigma (I)$ et que $g'$ est donnée par $$g'(z)=n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt$$