Soient \(\rho\) un réel strictement positif, \(z\) et \(w\) des nombres complexes tels que \(\vert z\vert >\rho\) et \(\vert w\vert >\rho\), et \(n\) un entier naturel.
Montrer que \[\left\vert {1\over w^n}-{1\over z^n}\right\vert\le \vert z-w\vert {n\over \rho ^{n+1}}\] et que \[\left\vert {1\over z-w}\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right)-{n\over z^{n+1}}\right\vert = \left\vert\sum_{k=1}^n\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right){1\over z^{n-k+1}}\right\vert \le \vert z-w\vert {n^2\over \rho ^{n+2}}\]
Soient maintenant \(\sigma\) et \(\phi\) deux fonctions continues à valeurs complexes définies sur un intervalle \(I=[a,b]\). On fixe un point \(z\in \C\setminus \sigma (I)\) et on pose \(\rho ={1\over 2}\inf_{a\le t\le b}\vert \sigma (t)-z\vert\).
Soit \(\displaystyle g(z)=\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^n}dt\). En remplaçant dans a) \(z\) par \(\sigma (t)-z\) et \(w\) par \(\sigma (t)-z-h\) avec \(\vert h\vert <\rho\), montrer que \[\left\vert {g(z+h)-g(z)\over h}-n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt\right\vert\le {\vert h\vert n^2\over \rho ^{n+2}}\int_a^b\vert \phi (t)\vert dt\]
En déduire que \(g(z)\) est holomorphe sur \(\C\setminus \sigma (I)\) et que \(g'\) est donnée par \[g'(z)=n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt\]