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Soit une fonction holomorphe $f$ entière définie sur le plan complexe tout entier, on suppose que $Re(f) \leq 0$. Montrer que $f$ est une fonction constante. On pourrait considérer la fonction $e^{f(z)}$.

Soit une fonction holomorphe $f$ au voisinage de $0$. Montrer que si $f \left( \frac{1}{n} \right) = f \left( \frac{1}{2n} \right)$ pour tout $n$ assez grand alors $f$ est une constante.

Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f=u+iv : D\to\Cc$ une application holomorphe. On suppose que sur $D$, $v=u^2$. Montrer que $f$ est une fonction constante.

Soit une fonction entière $f$ telle que $\vert f \vert$ tend vers l’infini si $\vert z \vert$ tend vers l’infini. Montrer que :

$f$ n’admet qu’un nombre fini de zéros.

$f$ est un polynôme.