On dit que deux fonctions réelles \(u(x,y)\) et \(v(x,y)\) sont conjuguées harmoniques si elles vérifient les équations de Cauchy-Riemann.
1
Montrer que si \(u\) et \(v\) sont conjuguées harmoniques, alors \(u\) et \(v\) sont harmoniques.
2
Trouver les conjuguées harmoniques des fonctions harmoniques suivantes dans les ouverts indiqués :
3
\(u(x,y)=x^2-y^2+x\) sur \(\C\)
4
\(u(x,y)={x\over x^2+y^2}\) sur \(\C\setminus \{0\}\)
5
\(u(x,y)={1\over 2}\ln{(x^2+y^2)}\) sur
6
\(\C\setminus \{x+iy\vert\ y=0,x\le 0\}\)
7
\(\C\setminus \{0\}\)