exo7 2801

Montrer qu’un entier $k\geq1$ s’écrit de manière unique sous la forme $2^n(2m+1)$, $n\geq0$, $m\geq0$. Puis prouver pour $|z|<1$ : $$\frac z{1-z^2} + \frac {z^2}{1-z^4} + \dots + \frac{z^{2^n}}{1 - z^{2^{n+1}}} + \dots = \frac z{1-z} \;.$$ On justifiera les interversions de séries. Prouver aussi: $$\frac z{1+z} + \frac {2z^2}{1+z^2} + \dots + \frac{2^n z^{2^n}}{1 + z^{2^{n}}} + \dots = \frac z{1-z} \;.$$