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Montrer qu’un entier \(k\geq1\) s’écrit de manière unique sous la forme \(2^n(2m+1)\), \(n\geq0\), \(m\geq0\). Puis prouver pour \(|z|<1\) : \[\frac z{1-z^2} + \frac {z^2}{1-z^4} + \dots + \frac{z^{2^n}}{1 - z^{2^{n+1}}} + \dots = \frac z{1-z} \;.\] On justifiera les interversions de séries. Prouver aussi: \[\frac z{1+z} + \frac {2z^2}{1+z^2} + \dots + \frac{2^n z^{2^n}}{1 + z^{2^{n}}} + \dots = \frac z{1-z} \;.\]