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Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon \(1\) . Montrer les équivalences (i)\(\Longleftrightarrow\)(ii)
\(\Longleftrightarrow\)(iii) où
(i) La série converge uniformément sur \(D\).
(ii) La série converge uniformément sur \(\overline D\).
(iii) La série converge uniformément sur \(\partial D\)
(Indication : pour l’implication (iii)\(\Longrightarrow\)(ii), on posera \(r_N=\sum_N^\infty a_n e^{in\theta}\) et on fera une tranformation d’Abel dans la somme \(\sum_M^N a_n \rho^n e^{in\theta}\) où \(0\leq\rho\leq1\).)