On utilise de nouveau la définition de la dérivée, d’abord pour \(f\) en \(z\) puis pour \(g\) au point \(f(z)\): \[f(z+h)=f(z)+ f'(z)h +h \epsilon(h).\] Notons \(w_h=f'(z)h +h\epsilon(h)\). Alors (et comme dans les exercices précédents on utilise epsilon pour n’importe quelle fonction tendant vers zéro lorsque sa variable tend vers zéro): \[g(f(z+h))=g(f(z)+w_h) =g(f(z))+g'(f(z))w_h +w_h \epsilon(w_h).\] Ainsi: \[\frac{1}{h} \big(g(f(z+h))-g(f(z))\big) = \big(g'(f(z)) + \epsilon(w_h)\big)\frac{w_h}h.\] Lorsque \(h\to0\), on a \(w_h\to0\), donc \(\epsilon(w_h)\to0\) et par ailleurs \(\frac{w_h}h\to f'(z)\). Au final \[(g\circ f)'(z) = \lim_{h\to 0} \big(g'(f(z)) + \epsilon(w_h)\big)\frac{w_h}h = g'(f(z)) f'(z).\]

exo7 2786