L3 Analyse complexe Fonction holomorphe 4 questions

exo7 7570

Pour chacune des propriétés suivantes, donner un exemple d’application holomorphe au voisinage de 00 qui la satisfait, ou bien démontrer qu’il n’existe pas de telles applications.

1

Pour presque tout n∈Nn\in\Nn, f(1n)=(−1)n1nf(\frac{1}{n})=(-1)^n\frac{1}{n}.

2

Pour presque tout n∈Nn\in\Nn,f(1n)=1n2−1f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^2-1}.

3

Pour presque tout k∈Nk\in\Nn,∣f(k)(0)∣≥(n!)2|f^{(k)}(0)|\geq (n!)^2.

4

Pour presque tout n∈Nn\in\Nn,∣f(1n)∣≤e−n|f(\frac{1}{n})|\leq e^{-n} et ff est non nulle.

Exercice AzcP

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