Pour chacune des propriétés suivantes, donner un exemple d’application holomorphe au voisinage de \(0\) qui la satisfait, ou bien démontrer qu’il n’existe pas de telles applications.
1
Pour presque tout \(n\in\Nn\), \(f(\frac{1}{n})=(-1)^n\frac{1}{n}\).
2
Pour presque tout \(n\in\Nn\),\(f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^2-1}\).
3
Pour presque tout \(k\in\Nn\),\(|f^{(k)}(0)|\geq (n!)^2\).
4
Pour presque tout \(n\in\Nn\),\(|f(\frac{1}{n})|\leq e^{-n}\) et \(f\) est non nulle.