On considère l’application \(f :\Cc^\times\to\Cc^\times\), \(z\mapsto \frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})\).
Déterminer le lieu où \(f\) préserve les angles.
Montrer que si on note \(r=|z|\), \(u=re(f)\) et \(v=im(f)\), alors \[u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\frac{x}{r}\quad \text{ et } \quad v=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\frac{x}{r}.\] puis \[\frac{u^2}{\frac{1}{4}(r+\frac{1}{r})^2}+\frac{v^2}{\frac{1}{4}(r-\frac{1}{r})^2}=1 \quad \text{ et } \quad \frac{u^2}{\frac{x^2}{r^2}}-\frac{v^2}{\frac{y^2}{r^2}}=1.\]
Déterminer l’image par \(f\) des cercles de centre \(o\) et de rayon \(1\) et \(2\).
Déterminer l’image par \(f\) des segments radiaux \(z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}t\) et \(z=\frac{1-i}{\sqrt{2}}t\), quand \(t\) varie dans \(]0,1[\).
Montrer que \(f\) est surjective.
Montrer que l’image réciproque d’un point de \(\Cc-[-1,1]\) est composée de deux points, l’un dans \(\Delta^\times\) l’autre dans \(\Cc-\Delta\).
Montrer que \(f\) est une bijection holomorphe de \(\Delta^\times\) sur \(\Cc-[-1,1]\).