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Déterminer le lieu où $f$ préserve les angles.

Montrer que si on note $r=|z|$, $u=re(f)$ et $v=im(f)$, alors $$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\frac{x}{r}\quad \text{ et } \quad v=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\frac{x}{r}.$$ puis $$\frac{u^2}{\frac{1}{4}(r+\frac{1}{r})^2}+\frac{v^2}{\frac{1}{4}(r-\frac{1}{r})^2}=1 \quad \text{ et } \quad \frac{u^2}{\frac{x^2}{r^2}}-\frac{v^2}{\frac{y^2}{r^2}}=1.$$

Déterminer l’image par $f$ des cercles de centre $o$ et de rayon $1$ et $2$.

Déterminer l’image par $f$ des segments radiaux $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}t$ et $z=\frac{1-i}{\sqrt{2}}t$, quand $t$ varie dans $]0,1[$.

Montrer que $f$ est surjective.

Montrer que l’image réciproque d’un point de $\Cc-[-1,1]$ est composée de deux points, l’un dans $\Delta^\times$ l’autre dans $\Cc-\Delta$.

Montrer que $f$ est une bijection holomorphe de $\Delta^\times$ sur $\Cc-[-1,1]$.