Soit \(U\subset \C\) un ouvert connexe. Soit \(f:U\to \C\) une fonction holomorphe. On note \(f=u+iv\) l’écriture sous forme algébrique des valeurs de \(f\). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.
1
\(f\) est constante.
2
Il existe une fonction \(\phi \in \mathcal C^1(\R,\R)\) telle que \(v=\phi(u)\).
3
Il existe une fonction \(\psi \in \mathcal C^1(\R^2,\R)\) dont la différentielle ne s’annule qu’en un nombre fini de points, et telle que \(\psi(u,v)\) est constante.