L3 Analyse complexe Fonction holomorphe 3 questions

exo7 7217

Soit U⊂CU\subset \C un ouvert connexe. Soit f:U→Cf:U\to \C une fonction holomorphe. On note f=u+ivf=u+iv l’écriture sous forme algébrique des valeurs de ff. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.

1

ff est constante.

2

Il existe une fonction ϕ∈C1(R,R)\phi \in \mathcal C^1(\R,\R) telle que v=ϕ(u)v=\phi(u).

3

Il existe une fonction ψ∈C1(R2,R)\psi \in \mathcal C^1(\R^2,\R) dont la différentielle ne s’annule qu’en un nombre fini de points, et telle que ψ(u,v)\psi(u,v) est constante.

Exercice KRty

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