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Montrer que la série $\sum_{n\ge 0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel.

Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu’il existe un polynôme $P$ tel que $$\forall z\in \C,\sup_{N\ge0}\left\vert \sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!} z^n\right\vert \le P\left( \vert z\vert\right) +\exp \left( \frac{\vert z\vert}{r}\right).$$ On pourra considérer un entier $n_0$ tel que, pour tout $n>n_0$, on ait $\vert c_n\vert \le r^{-n}$.

Montrer que, pour tout $z$ de $\C$ tel que $\vert z\vert <R$, on a $$f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)e^{-t}\, dt.$$