On considère une série entière \(\sum_{n\ge 0}c_nz^n\) de rayon de convergence \(R>0\). Sa somme est notée \(f(z)\).
1
Montrer que la série \(\sum_{n\ge 0}\frac{c_n}{n!}z^n\) a un rayon de convergence infini. Sa somme notée \(F(z)\) est appelée transformée de Borel.
2
Soit \(r\) un réel vérifiant \(0<r<R\). Montrer qu’il existe un polynôme \(P\) tel que \[\forall z\in \C,\sup_{N\ge0}\left\vert \sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!} z^n\right\vert \le P\left( \vert z\vert\right) +\exp \left( \frac{\vert z\vert}{r}\right).\] On pourra considérer un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n>n_0\), on ait \(\vert c_n\vert \le r^{-n}\).
3
Montrer que, pour tout \(z\) de \(\C\) tel que \(\vert z\vert <R\), on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)e^{-t}\, dt.\]