Considérons le produit $fg$ . En utilisant la définition même de la dérivée, on a : $\begin{aligned} \frac{1}{h} \left( f(z+h)g(z+h) -f(z)g(z)\right) &= f(z+h)\frac{g(z+h)-g(z)}{h} + g(z) \frac{f(z+h)-f(z)}{h}\\ & \longrightarrow f(z) g'(z) +g(z)f'(z) \quad \text{lorsque} \;\; h\to 0 \, . \end{aligned}$ Autre manière: $\begin{aligned} f(z+h)g(z+h)&= (f(z)+f'(z)h +h\epsilon (h))(g(z)+g'(z)h +h\epsilon (h))\\ &= f(z)g(z) + (f(z)g'(z)+f'(z)g(z))h +h \epsilon (h)\, . \end{aligned}$ D’où $(fg)'(z)=f(z)g'(z)+f'(z)g(z)$ .

exo7 2784