Le but de l’exercice est de déterminer les groupes dérivés successifs de \(\mathcal{S}_4\). On notera \(V_4\) le sous-groupe des permutations de profil \((\cdot,\cdot)(\cdot,\cdot)\) (avec l’identité).
1
Montrer que \(D(\mathcal{S}_4) \subset \mathcal{A}_4\).
2
Calculer les commutateurs \((1,2)(1,3)(1,2)^{-1}(1,3)^{-1}\) et \((1,2,3)(1,2,4)(1,2,3)^{-1}(1,2,4)^{-1}\).
3
Montrer que \(D(\S _4)=A_4\).
4
Montrer que \(V_4\subset D(\mathcal{A}_4)\).
5
Vérifier que \(V_4\) est distingué dans \(\mathcal{A}_4\) et que le quotient \(\mathcal{A}_4/V_4\) est un groupe abélien. En déduire que \(D(\mathcal{A}_4)\subset V_4\).
6
En déduire \(D^2(\mathcal{S}_4)\).
7
Calculer les autres groupes dérivés de \(\mathcal{S}_4\).