Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et premiers entre eux, puis soit $F=\frac{P}{Q}$ . Si $F$ est paire, alors $\frac{P(-X)}{Q(-X)}=\frac{P(X)}{Q(X)}$ , ou encore $F=\frac{P}{Q}$ $(*)$ .

Par suite, $P(X)$ divise $P(X)Q(-X)=Q(X)P(-X)$ et $P(X)$ est premier à $Q(X)$ . D’après le théorème de Gauss, $P(X)$ divise $P(-X)$ . Donc, il existe $\lambda\in\Cc^*$ tel que $P(-X)=\lambda P(X)$ (car $\mbox{deg}(P(-X))=\mbox{deg}(P)$ ). L’analyse des coefficients dominants des deux membres fournit $\lambda=(-1)^n$ où $n=\mbox{deg}P$ . Ceci s’écrit $P(-X)=(-1)^nP(X)$ . En reportant dans $(*)$ , on obtient encore $Q(-X)=(-1)^n=Q(X)$ . Ainsi, si $F$ est paire, alors $P$ et $Q$ sont ou bien tous deux pairs, ou bien tous deux impairs. Ce dernier cas est exclu, car alors $P$ et $Q$ admettraient tous deux $0$ pour racine contredisant le fait qu’ils sont premiers entre eux. Finalement, si $F$ est paire, alors $P$ et $Q$ sont pairs. La réciproque est claire.

$F\;\mbox{paire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{et}\;Q\;\mbox{sont pairs.})$

Je vous laisse établir que

$F\;\mbox{impaire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{est impair et}\;Q\;\mbox{est pair})\;\mbox{ou}(P\;\mbox{est pair et}\;Q\;\mbox{est impair.})$

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