Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls et premiers entre eux, puis soit \(F=\frac{P}{Q}\). Si \(F\) est paire, alors \(\frac{P(-X)}{Q(-X)}=\frac{P(X)}{Q(X)}\), ou encore \(P(-X)Q(X)=P(X)Q(-X)\) \((*)\).

Par suite, \(P(X)\) divise \(P(X)Q(-X)=Q(X)P(-X)\) et \(P(X)\) est premier à \(Q(X)\). D’après le théorème de Gauss, \(P(X)\) divise \(P(-X)\). Donc, il existe \(\lambda\in\Cc^*\) tel que \(P(-X)=\lambda P(X)\) (car \(\mbox{deg}(P(-X))=\mbox{deg}(P)\)). L’analyse des coefficients dominants des deux membres fournit \(\lambda=(-1)^n\) où \(n=\mbox{deg}P\). Ceci s’écrit \(P(-X)=(-1)^nP(X)\). En reportant dans \((*)\), on obtient encore \(Q(-X)=(-1)^n=Q(X)\). Ainsi, si \(F\) est paire, alors \(P\) et \(Q\) sont ou bien tous deux pairs, ou bien tous deux impairs. Ce dernier cas est exclu, car alors \(P\) et \(Q\) admettraient tous deux \(0\) pour racine contredisant le fait qu’ils sont premiers entre eux. Finalement, si \(F\) est paire, alors \(P\) et \(Q\) sont pairs. La réciproque est claire.

\[F\;\mbox{paire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{et}\;Q\;\mbox{sont pairs.})\]

Je vous laisse établir que

\[F\;\mbox{impaire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{est impair et}\;Q\;\mbox{est pair})\;\mbox{ou}(P\;\mbox{est pair et}\;Q\;\mbox{est impair.})\]

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