Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte \(U= \ ]0,\infty[\ \times\ ]0,2\pi[\ \) donnée par : \[\varphi : \ U \to S^2 \quad,\quad (r,\theta) \mapsto (\frac{2r}{r^2+1} \cos(\theta), \frac{2r}{r^2+1} \sin(\theta), \frac{r^2-1}{r^2+1} )\ .\] Dans la carte \(U\) on donne le champ de vecteurs \(X\) par : \[X_{|(r,\theta)} = f(r) \frac{\partial}{\partial r}_{|(r,\theta)} \ \cong\ (f(r),0)\ .\]
Calculer le champ sur \(S^2\), c’est-à-dire les vecteurs \(\varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}\).
Soit \(f(r) = r^2\). Existe-t-il un champ de vecteurs continue \(Y\) sur la sphère \(S^2\) entière telle que \(Y_{|\varphi(r,\theta)} = \varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}\) pour tout \((r,\theta)\) ?
Même question qu’en 2. dans le cas \(f(r) = \dfrac{r^2-1}{r^2+1}\).
Quelle condition nécessaire et suffisante (la plus simple possible) doit vérifier la fonction continue \(f: \ ]0,\infty[\ \to \Rr\) pour qu’il existe un champ de vecteurs continue \(Y\) sur la sphère \(S^2\) entière telle que \(Y_{|\varphi(r,\theta)} = \varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}\) pour tout \((r,\theta)\) ?