Supposons d’abord \(\bigl|r-\sqrt a\bigr| \le \frac 1{q^2}\). Cela implique \(|r| \le \sqrt a + 1\).

Minorons \(|r^2-a|\), en posant \(r=\frac pq\), \(a=\frac mn\). \[|r^2-a|=\left|\left(\frac pq\right)^2-\frac mn \right| =\left| \frac{np^2-mq^2}{nq^2}\right| \ge \frac{1}{nq^2}\] La dernière inégalité provient que le numérateur \(np^2-mq^2\) n’est pas nul (sinon \(\sqrt a\) serait rationnel).

On déduit de ces deux majorations : \[\frac{1}{nq^2} \le |r^2-a| \le |r-\sqrt a| \times \big( 2\sqrt a+1 \big)\] Et donc : \[|r-\sqrt a| \ge \frac{1}{n( 2\sqrt a+1)}\frac{1}{q^2}.\]

Cette inégalité est aussi clairement vérifier si \(\bigl|r-\sqrt a\bigr| > \frac 1{q^2}\).

La constante \(C=\frac{1}{n( 2\sqrt a+1)}\) convient.

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