Les quantiles sont à gauche : \(q_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(\chi^2(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Une entreprise fabrique des câbles électriques dont la résistance \(R\) (en ohms) est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de taux \(\lambda>0\). La densité de cette loi est donnée par \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{pour }x\geq0,\] et vaut zéro pour \(x<0\). On rappelle que \(\mu=\mathbb E(R)=\frac{1}{\lambda}\) et \(\operatorname{Var}(R)=\frac{1}{\lambda^2}\).
Pour contrôler la qualité de production, on mesure la résistance de \(n=10\) câbles tirés au hasard. On note \(X_i\) la résistance du \(i\)-ème câble et on suppose les variables \(X_i\) indépendantes et de même loi que \(R\). Les valeurs observées \(r_i\) sont les suivantes (en ohms) : \[2{,}3\quad1{,}8\quad3{,}1\quad2{,}7\quad1{,}5\quad2{,}9\quad2{,}1\quad3{,}4\quad2{,}5\quad1{,}9.\] Le cahier des charges donné dans cet exercice exige une résistance moyenne d’au moins \(2{,}5\) ohms, c’est-à-dire \(\mu\geq2{,}5\) ohms.
Exprimer la fonction de vraisemblance \(L(r_1,\ldots,r_{10};\lambda)\) associée à cet échantillon, où \(r_1,\ldots,r_{10}\) désignent les valeurs observées.
En utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, déterminer un estimateur \(\widehat\Lambda_n\) du paramètre \(\lambda\) à partir d’un \(n\)-échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\).
L’estimateur \(\widehat\Lambda_n\) est-il sans biais ? Justifier.
Calculer une estimation \(\widehat\lambda_{\mathrm{obs}}\) du paramètre \(\lambda\) à partir des données observées.
En déduire une estimation ponctuelle de l’espérance \(\mu=\mathbb E(R)\) de la résistance.
On admet que, pour un \(n\)-échantillon de loi exponentielle de taux \(\lambda\), la variable \(2\lambda n\overline X_n=2\lambda\sum_{i=1}^nX_i\) suit une loi du khi-deux à \(2n\) degrés de liberté. Déterminer un intervalle de confiance à \(95\%\) pour le paramètre \(\lambda\).
En déduire un intervalle de confiance à \(95\%\) pour l’espérance \(\mu=\mathbb E(R)\).
Au vu de ces résultats, peut-on établir avec cette méthode au niveau de confiance \(95\%\) que l’entreprise respecte le cahier des charges donné (\(\mu\geq2{,}5\) ohms) ? Justifier.