Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)\).
1
Étudier les extremums locaux de \(f\).
2
Soit \(D=\{(x,y)\in\R^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}\). Montrer que \(f\) a un maximum \(M\) et un minimum \(m\) sur \(D\).
3
Soit \((x,y)\in D\). Montrer que si \(f(x,y)=M\) ou \(f(x,y)=m\), alors \(x^2+y^2=1\).
4
Étudier la fonction \(t\mapsto f(\cos t, \sin t)\). En déduire les valeurs de \(M\) et \(m\).