Dans une usine, une machine produit des pièces dont la longueur suit une loi normale de paramètres \(\mu\) (en cm) et \(\sigma^2 = 4\) (en cm²). On souhaite estimer \(\mu\) à partir d’un échantillon de taille \(n=5\). On note \((X_1,...,X_5)\) cet échantillon.
On considère les deux estimateurs suivants : \[T_1 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} X_i \qquad T_2 = \frac{1}{4}(X_1 + X_2) + \frac{1}{6}(X_3 + X_4 + X_5)\]
On pose également : \[U = \sum_{i=1}^{5} (X_i - T_1)^2 \qquad V = \frac{1}{2}(X_1 - X_2)\]
Montrer que \(V\) suit une loi normale dont on précisera les paramètres.
Calculer \(\prob(-4{,}5 \leq V \leq 4{,}5)\) avec 8 chiffres significatifs.
Déterminer la loi suivie par la variable \(T_1\).
Étudier le biais des estimateurs \(T_1\) et \(T_2\).
Lequel de ces deux estimateurs est le plus efficace ?
Déterminer un coefficient \(a \in \R\) tel que \(aU\) suive une loi du \(\chi^2\) dont on précisera le nombre de degrés de liberté.
En déduire la loi suivie par la variable \(W = \frac{T_1 - \mu}{\sqrt{\frac{U}{20}}}\).