On obtient la courbe complète quand $t$ décrit $]-\pi,0[\cup]0,\pi[$ . Puisque $M(-t)=s_{(Ox)}(M(t))$ et $M(\pi-t)=s_{(Oy)}(M(t))$ , on se contente d’étudier et de construire la courbe quand $t\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d’axe $(Oy)$ puis d’axe $(Ox)$ . Pour $t\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ ,

$\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} R(-\sin t+\frac{1}{\sin t})\\ R\cos t \end{array} \right)=R\left( \begin{array}{c} \frac{\cos^2t}{\sin t}\\ \cos t \end{array} \right)=R\frac{\cos t}{\sin t}\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t \end{array} \right)=R\cotan t\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t \end{array} \right).$

Puisque $R\cotan t>0$ pour $t\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et puisque le vecteur $\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t \end{array} \right)$ est unitaire, on a

$\frac{ds}{dt}=R\cotan t$ puis $\overrightarrow{\tau}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t \end{array} \right)$ .

On a donc $\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} -\sin t\\ \cos t \end{array} \right)$ et d’autre part, on peut prendre $\alpha(t)=t$ . En notant $\rho(t)$ le rayon de courbure au point $M(t)$ ,

$\rho(t)=\frac{ds}{d\alpha}=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=R\cotan t$ ,

puis

$\begin{align*}\ensuremath \Omega(t)&=M(t)+\rho(t)\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} R\left(\cos t+\ln\left|\tan \frac{t}{2}\right|\right)\\ R\sin t \end{array} \right)+R\cotan t\left( \begin{array}{c} -\sin t\\ \cos t \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{c} R\ln\left|\tan \frac{t}{2}\right|\\ \frac{R}{\sin t} \end{array} \right). \end{align*}$ La développée cherchée est l’arc $t\mapsto\left( \begin{array}{c} R\ln\left|\tan \frac{t}{2}\right|\\ \frac{R}{\sin t} \end{array} \right)$ , $t\in]-\pi,0[\cup]0,\pi[$ (en complétant par symétrie). Quand $t$ décrit $]0,\pi[$ , on effectue alors le changement de paramètres $t\mapsto R\ln\left|\tan \frac{t}{2}\right|=u$ qui est un $C^1$ -difféomorphisme de $]0,\pi[$ sur $\Rr$ . On obtient $x=u$ puis

$y=\frac{R}{\frac{2\tan\frac{t}{2}}{1+\tan^2\frac{t}{2}}}=\frac{R}{2}\left(\tan\frac{t}{2}+\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}\right)=R\frac{e^{u/R}+e^{-u/R}}{2}=R\ch\left(\frac{u}{R}\right)$ .

Le support de la développée sur $]0,\pi[$ est aussi le support de l’arc $u\mapsto\left( \begin{array}{c} u\\ R\ch\left(\frac{u}{R}\right) \end{array} \right)$ , $u\in\Rr$ ou encore la chaînette d’équation cartésienne $y=R\ch\left(\frac{x}{R}\right)$ .

\[\]

Quand $t$ décrit $[0,2\pi]$ , on obtient une arche de cycloïde complète. Les autres arches s’en déduisent par translations de vecteurs $2k\pi R\overrightarrow{i}$ . Pour $t\in[0,2\pi]$

$\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} R(1-\cos t)\\ R\sin t \end{array} \right)=2R\sin\left(\frac{t}{2}\right)\left( \begin{array}{c} \sin\left(\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\cos\left(\frac{t}{2}\right) \end{array} \right).$

Le point $M(t)$ est régulier pour $t\in]0,2\pi[$ et pour $t\in]0,2\pi[$ , $2R\sin\left(\frac{t}{2}\right)>0$ . Puisque le vecteur $\left( \begin{array}{c} \sin\left(\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\cos\left(\frac{t}{2}\right) \end{array} \right)$ est unitaire, on a

$\frac{ds}{dt}=2R\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ et $\overrightarrow{\tau}(t)=\left( \begin{array}{c} \sin\left(\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\cos\left(\frac{t}{2}\right) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}\right) \end{array} \right)$ .

On en déduit que $\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} -\cos\left(\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \end{array} \right)$ et d’autre part, on peut prendre $\alpha(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}$ . En notant $\rho(t)$ le rayon de courbure au point $M(t)$ ,

$\rho(t)=\frac{ds}{d\alpha}=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=\frac{2R\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-4R\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ ,

et donc

$\begin{align*}\ensuremath \Omega(t)&=M(t)+\rho(t)\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} R(t-\sin t)\\ R(1-\cos t) \end{array} \right)-4R\sin\left(\frac{t}{2}\right)\left( \begin{array}{c} -\cos\left(\frac{t}{2}\right)\\ \rule{0mm}{6mm}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} R(t-\sin t)+2R\sin t\\ R(1-\cos t)-2R(1-\cos t) \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{c} R(t+\sin t)\\ -R(1-\cos t) \end{array} \right). \end{align*}$ La développée cherchée est l’arc $t\mapsto\left( \begin{array}{c} R(t+\sin t)\\ -R(1-\cos t) \end{array} \right)$ . Poursuivons.

$\begin{align*}\ensuremath \Omega(t+\pi)&=\left( \begin{array}{c} R(t+\pi-\sin t)\\ -R(1+\cos t) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} R(t-\sin t)\\ R(1-\cos t) \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \pi R\\ -2R \end{array} \right)=t_{\overrightarrow{u}}(M(t))\;\text{où}\;\overrightarrow{u}=(\pi R,-2R). \end{align*}$ Ainsi, le centre de courbure au point $M(t+\pi)$ est le translaté du point $M(t)$ dans la translation de vecteur $(\pi R,-2R)$ et donc la développée de la cycloïde est la translatée de la cycloïde par la translation de vecteur $(\pi R,-2R)$ . En particulier, c’est encore une cycloïde.

\[\]

$\mathcal{C}$ est le support de la courbe paramétrée $t\mapsto M(t)=\left( \begin{array}{c} t\\ t^3 \end{array} \right)$ . $M(t)$ est birégulier si et seulement si $t/neq0$ . Pour $t\in\Rr$ , $\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} 1\\ 3t^2 \end{array} \right)$ . Par suite

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+9t^4}$ et $\overrightarrow{\tau}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+9t^4}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 3t^2 \end{array} \right)$ .

Donc, d’une part $\overrightarrow{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+9t^4}}\left( \begin{array}{c} -3t^2\\ 1 \end{array} \right)$ et d’autre part, puisque les coordonnées de $\overrightarrow{\tau}(t)$ sont positives, on peut prendre $\alpha(t)=\Arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+9t^4}}\right)$ . Par suite, pour $t\neq0$

$\frac{d\alpha}{dt}=-\left(-\frac{1}{2}\right)36t^3(1+9t^4)^{-3/2}\times\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+9t^4}}}=\frac{6t}{1+9t^4}$

puis

$R(t)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=\frac{(1+9t^4)^{3/2}}{6t}$ ,

et donc

$\Omega(t)=M(t)+R(t)\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} t\\ t^3 \end{array} \right)+ \frac{1+9t^4}{6t}\left( \begin{array}{c} -3t^2\\ 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \frac{t}{2}-\frac{9t^5}{2}\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{5t^3}{2}+\frac{1}{6t} \end{array} \right)$ .

\[\]

exo7 5536