exo7 1433

Un sous-groupe $H$ de $G$ est distingué si: $\forall x\in G, xH=Hx$, ce qui est équivalent à dire que $H$ est le noyau d’un morphisme de $G$ dans un groupe. Rappeler la démonstration de cette équivalence.

Si $H$ est un sous-groupe d’indice 2 de $G$, montrer que $H$ est distingué.

Si $G$ est abélien, montrer que tout sous-groupe de $G$ est distingué.

Le centre de $G$ est l’ensemble $Z(G)=\{z\in G: \forall x\in G, xz=zx\}$. Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe distingué.