Soit \(G\) un groupe.
1
Un sous-groupe \(H\) de \(G\) est distingué si: \(\forall x\in G, xH=Hx\), ce qui est équivalent à dire que \(H\) est le noyau d’un morphisme de \(G\) dans un groupe. Rappeler la démonstration de cette équivalence.
2
Si \(H\) est un sous-groupe d’indice 2 de \(G\), montrer que \(H\) est distingué.
3
Si \(G\) est abélien, montrer que tout sous-groupe de \(G\) est distingué.
4
Le centre de \(G\) est l’ensemble \(Z(G)=\{z\in G: \forall x\in G, xz=zx\}\). Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe distingué.