On prend \(n\geq2\) (sinon tout est clair).

\(Q=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})\) est à racines simples si et seulement si \(e^{ia}\neq e^{-ia}\) ou encore \(e^{2ia}\neq 1\) ou enfin, \(a\notin\pi\Zz\).

1er cas. Si \(a\in\pi\Zz\) alors, \(P=0=0.Q\).

2ème cas. Si \(a\notin\pi\Zz\), alors

\[\begin{align*}\ensuremath P(e^{ia})&=\sin a(\cos(na)+i\sin(na))-\sin(na)(\cos a+i\sin a)+\sin((n-1)a)\\ &=\sin((n-1)a)-(\sin(na)\cos a-\cos(na)\sin a)=0. \end{align*}\]

Donc, \(e^{ia}\) est racine de \(P\) et de même, puisque \(P\) est dans \(\Rr[X]\), \(e^{-ia}\) est racine de \(P\). \(P\) est donc divisible par \(Q\).

\[\begin{align*}\ensuremath P&=P-P(e^{ia})=\sin a(X^n-e^{ina})-\sin(na)(X-e^{ia})=(X-e^{ia})(\sin a\sum_{k=0}^{n-1}X^{n-1-k}e^{ika}-\sin(na))\\ &=(X-e^{ia})S. \end{align*}\]

Puis,

\[\begin{align*}\ensuremath S&=S-S(e^{-ia})=\sin a\sum_{k=0}^{n-1}e^{ika}(X^{n-1-k}-e^{-i(n-1-k)a})=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}e^{ika}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{-ija})\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{i(k-j)a}) =\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k+j=l}^{}e^{i(k-j)a})X^{n-2-l}\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)a})X^{n-2-l} \end{align*}\]

Maintenant,

\[\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)}a=e^{-ila}\frac{1-e^{2i(l+1)a}}{1-e^{2ia}}=\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}.\]

Donc

\[S=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}X^{n-2-l}=(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\sin((l+1)a)X^{n-2-l},\]

et finalement

\[P=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a)X^{n-2-k}=(X^2-2X\cos a+1)\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a).\]

exo7 5323