On prend $n\geq2$ (sinon tout est clair).

$Q=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})$ est à racines simples si et seulement si $e^{ia}\neq e^{-ia}$ ou encore $e^{2ia}\neq 1$ ou enfin, $a\notin\pi\Zz$ .

1er cas. Si $a\in\pi\Zz$ alors, $P=0=0.Q$ .

2ème cas. Si $a\notin\pi\Zz$ , alors

$\begin{align*}\ensuremath P(e^{ia})&=\sin a(\cos(na)+i\sin(na))-\sin(na)(\cos a+i\sin a)+\sin((n-1)a)\\ &=\sin((n-1)a)-(\sin(na)\cos a-\cos(na)\sin a)=0. \end{align*}$

Donc, $e^{ia}$ est racine de $P$ et de même, puisque $P$ est dans $\Rr[X]$ , $e^{-ia}$ est racine de $P$ . $P$ est donc divisible par $Q$ .

$\begin{align*}\ensuremath P&=P-P(e^{ia})=\sin a(X^n-e^{ina})-\sin(na)(X-e^{ia})=(X-e^{ia})(\sin a\sum_{k=0}^{n-1}X^{n-1-k}e^{ika}-\sin(na))\\ &=(X-e^{ia})S. \end{align*}$

Puis,

$\begin{align*}\ensuremath S&=S-S(e^{-ia})=\sin a\sum_{k=0}^{n-1}e^{ika}(X^{n-1-k}-e^{-i(n-1-k)a})=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}e^{ika}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{-ija})\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{i(k-j)a}) =\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k+j=l}^{}e^{i(k-j)a})X^{n-2-l}\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)a})X^{n-2-l} \end{align*}$

Maintenant,

$\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)}a=e^{-ila}\frac{1-e^{2i(l+1)a}}{1-e^{2ia}}=\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}.$

Donc

$S=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}X^{n-2-l}=(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\sin((l+1)a)X^{n-2-l},$

et finalement

$P=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a)X^{n-2-k}=(X^2-2X\cos a+1)\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a).$

exo7 5323