Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), \(u_{n+1} = \frac12 u_n+n-1\).
1
Démontrer que pour tout \(n\geq 3\), \(u_n\) est positif. En déduire que pour tout \(n\geq 4\), on a \(u_n\geq n-2\). En déduire la limite de la suite.
2
Définissons maintenant la suite \(v_n=4u_n-8n+24\). Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, donner son premier terme et sa raison. Montrer que pour tout \(n\in \N, u_n = 7\left(\frac{1}{2}\right)^n+2n-6\). Remarquer que \(u_n\) est la somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes. En déduire une formule pour la quantité \(u_0+u_1+...+u_n\) en fonction de l’entier \(n\).