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Démontrer que pour tout $n\geq 3$, $u_n$ est positif. En déduire que pour tout $n\geq 4$, on a $u_n\geq n-2$. En déduire la limite de la suite.

Définissons maintenant la suite $v_n=4u_n-8n+24$. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, donner son premier terme et sa raison. Montrer que pour tout $n\in \N, u_n = 7\left(\frac{1}{2}\right)^n+2n-6$. Remarquer que $u_n$ est la somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes. En déduire une formule pour la quantité $u_0+u_1+...+u_n$ en fonction de l’entier $n$.