Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné a une probabilité égale à \(20\%\) d’être connecté à 16h. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à 16h. Quelle est la loi de \(X\) ? Quelle est son espérance, son écart-type ?
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que \[\mathbb{P}(X \in [960,1040]) \ge \frac{1}{2}.\] Note : L’énoncé original contenait une coquille probable (\(\le\)), qui est corrigée ici pour correspondre à l’application correcte de l’inégalité.
On pose : \[Y= \frac{X-1000}{\sqrt{800}}.\] Par quelle loi peut-on approcher la loi de \(Y\) ? Le justifier précisément.
Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure à \(2.5\%\). En utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions. On pourra utiliser l’approximation \(\sqrt{2} \approx 1.41\).