Soient \(n\in\Nn^*\) et \((x_1,x_2,...,x_n )\in[-1,1]^n\) tels que \(x_1+x_2+...+x_n=0\).

On écrit

\[(x_1+2x_2+...+nx_n)=(x_1+x_2+...+x_n)+(x_2+x_3+....+x_n)+(x_3+...+x_n)+...+(x_{n-1}+x_n)+x_n,\]

avec \(x_1+...+x_n=0\) et donc \(x_2+...+x_n=-x_1\) ...

Si \(n=2p\) est pair, alors \(\frac{n^2}{4}=p^2\) et donc, \(E(\frac{n^2}{4})=p^2=\frac{n^2}{4}\). Dans ce cas, on peut écrire

\[\begin{align*} |x_1+2x_2+...+nx_n|&\leq|x_1+x_2+...+x_{2p}|+|x_2+....+x_{2p}|+...+|x_p+...+x_{2p}|\\ &\;+|x_{p+1}+...+x_{2p}|...+|x_{2p-1}+ x_{2p}|+|x_{2p}|\\ &=0+|-x_1|+|-x_1-x_2|+...+|-x_{1}+...-x_{p-1}|\\ &+|x_{p+1}+...+x_{2p}|...+|x_{2p-1}+x_{2p}|+|x_{2p}|\\ &\leq0+1+2+...+(p-1)+p+(p-1)+...+1=2\frac{p(p-1)}{2}+p=p^2=E(\frac{n^2}{4}) \end{align*}\]
Si \(n=2p+1\) est impair, alors \(\frac{n^2}{4}=p^2+p+\frac{1}{4}\) et donc, \(E(\frac{n^2}{4})=p^2+p=\frac{n^2-1}{4}\). Dans ce cas, on peut écrire

\[\begin{align*} |x_1+2x_2+...+nx_n|&\leq|x_1+x_2+...+x_{2p+1}|+...+|x_{p+1}+...+x_{2p+1}|\\ &+|x_{p+2}+...+x_{2p+1}|...+|x_{2p+1}|\\ &=0+|-x_1|+|-x_1-x_2|+...+|-x_{1}+...-x_{p}|\\ &+|x_{p+2}+...+x_{2p+1}|...+|x_{2p+1}|\\ &\leq0+1+2+...+(p-1)+p+p+(p-1)+...+1=2\frac{p(p+1)}{2}=p^2+p=E(\frac{n^2}{4}) \end{align*}\]

Dans tous les cas, on a montré que

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