Soient $n\in\Nn^*$ et $(x_1,x_2,...,x_n )\in[-1,1]^n$ tels que $x_1+x_2+...+x_n=0$ .

On écrit

$(x_1+2x_2+...+nx_n)=(x_1+x_2+...+x_n)+(x_2+x_3+....+x_n)+(x_3+...+x_n)+...+(x_{n-1}+x_n)+x_n,$

avec $x_1+...+x_n=0$ et donc $x_2+...+x_n=-x_1$ ...

1er cas. Si $n=2p$ est pair, alors $\frac{n^2}{4}=p^2$ et donc, $E(\frac{n^2}{4})=p^2=\frac{n^2}{4}$ . Dans ce cas, on peut écrire

$\begin{align*} |x_1+2x_2+...+nx_n|&\leq|x_1+x_2+...+x_{2p}|+|x_2+....+x_{2p}|+...+|x_p+...+x_{2p}|\\ &\;+|x_{p+1}+...+x_{2p}|...+|x_{2p-1}+ x_{2p}|+|x_{2p}|\\ &=0+|-x_1|+|-x_1-x_2|+...+|-x_{1}+...-x_{p-1}|\\ &+|x_{p+1}+...+x_{2p}|...+|x_{2p-1}+x_{2p}|+|x_{2p}|\\ &\leq0+1+2+...+(p-1)+p+(p-1)+...+1=2\frac{p(p-1)}{2}+p=p^2=E(\frac{n^2}{4}) \end{align*}$
2ème cas. Si $n=2p+1$ est impair, alors $\frac{n^2}{4}=p^2+p+\frac{1}{4}$ et donc, $E(\frac{n^2}{4})=p^2+p=\frac{n^2-1}{4}$ . Dans ce cas, on peut écrire

$\begin{align*} |x_1+2x_2+...+nx_n|&\leq|x_1+x_2+...+x_{2p+1}|+...+|x_{p+1}+...+x_{2p+1}|\\ &+|x_{p+2}+...+x_{2p+1}|...+|x_{2p+1}|\\ &=0+|-x_1|+|-x_1-x_2|+...+|-x_{1}+...-x_{p}|\\ &+|x_{p+2}+...+x_{2p+1}|...+|x_{2p+1}|\\ &\leq0+1+2+...+(p-1)+p+p+(p-1)+...+1=2\frac{p(p+1)}{2}=p^2+p=E(\frac{n^2}{4}) \end{align*}$

Dans tous les cas, on a montré que

$\forall n\in\Nn^*,\;|x_1+2x_2+...+nx_n|\leq E(\frac{n^2}{4}).$

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