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Soit $z=x+iy$ un nombre complexe, où $x=\Re z$ et $y=\Im z$ . On sait que si $z$ est non nul, on peut l’écrire de façon unique sous la forme $z=x+iy=re^{i\theta}$ , où $\theta\in]-\pi,\pi]$ et $r=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Montrer que si $x>0$ , alors $\theta=\Arctan\frac{y}{x}$ .

Montrer que si $\theta\in]-\pi,\pi[$ , alors $\theta=2\Arctan\left(\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)$ .

En déduire que si $z$ n’est pas réel négatif ou nul, on a l’égalité $\theta=2\Arctan\left(\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right).$

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