Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et \(y=\Im z\). On sait que si \(z\) est non nul, on peut l’écrire de façon unique sous la forme \(z=x+iy=re^{i\theta}\), où \(\theta\in]-\pi,\pi]\) et \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).
1
Montrer que si \(x>0\), alors \(\theta=\Arctan\frac{y}{x}\).
2
Montrer que si \(\theta\in]-\pi,\pi[\), alors \(\theta=2\Arctan\left(\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)\).
3
En déduire que si \(z\) n’est pas réel négatif ou nul, on a l’égalité \[\theta=2\Arctan\left(\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right).\]