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Soit $\gamma:[0,1]\to\Cc\setminus\{0\}$ un lacet et soit $N\in \Zz$ son indice par rapport à $0$. En utilisant la notion de variation de l’argument, montrer qu’il existe une fonction continue $g:[0,1]\to\Cc$ telle que $\forall t\quad \gamma(t) = e^{g(t)}$ et $g(1) - g(0) = 2\pi i N$. Montrer que toute autre fonction continue $G$ avec $\forall t\quad \gamma(t) = e^{G(t)}$ est de la forme $g+2\pi i k$ pour un certain $k\in\Zz$. On pose $h(t,u) = (1-u)\;2\pi i N\,t + ug(t)$ puis $H(t,u) = e^{h(t,u)}$. Montrer que pour chaque $u\in[0,1]$ l’application $t\mapsto H(t,u)$ est un lacet. En déduire que le lacet $c_N(t) = e^{2\pi i\; Nt}$ et $\gamma$ sont homotopes dans $\Cc\setminus\{0\}$.

On considère le lacet obtenu en suivant d’abord $c_N$ puis $c_M$. Montrer que ce lacet est homotope dans $\Cc\setminus\{0\}$ au lacet $c_{N+M}$ (il suffit de calculer son indice!).