Soit \(\gamma:[0,1]\to\Cc\setminus\{0\}\) un lacet et soit \(N\in \Zz\) son indice par rapport à \(0\). En utilisant la notion de variation de l’argument, montrer qu’il existe une fonction continue \(g:[0,1]\to\Cc\) telle que \(\forall t\quad \gamma(t) = e^{g(t)}\) et \(g(1) - g(0) = 2\pi i N\). Montrer que toute autre fonction continue \(G\) avec \(\forall t\quad \gamma(t) = e^{G(t)}\) est de la forme \(g+2\pi i k\) pour un certain \(k\in\Zz\). On pose \(h(t,u) = (1-u)\;2\pi i N\,t + ug(t)\) puis \(H(t,u) = e^{h(t,u)}\). Montrer que pour chaque \(u\in[0,1]\) l’application \(t\mapsto H(t,u)\) est un lacet. En déduire que le lacet \(c_N(t) = e^{2\pi i\; Nt}\) et \(\gamma\) sont homotopes dans \(\Cc\setminus\{0\}\).
On considère le lacet obtenu en suivant d’abord \(c_N\) puis \(c_M\). Montrer que ce lacet est homotope dans \(\Cc\setminus\{0\}\) au lacet \(c_{N+M}\) (il suffit de calculer son indice!).