Dans cet exercice, on justifiera soigneusement chaque passage à la limite. Calculer les intégrales :
1
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{1\over 1+x^6}\ dx\)
2
\(\displaystyle \int_0^{+\infty}{1\over x^\alpha (1+x)}\ dx\ ,\ 0<\alpha <1\)
3
\(\displaystyle \int_0^{+\infty}{\sin^2x\over x^2}\ dx\) (on pourra considérer la fonction \(\displaystyle {1-e^{2ix}\over x^2}\))
4
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{\cos x\over e^x+e^{-x}}\ dx\) (on pourra utiliser le rectangle de sommets \(-R\), \(R\), \(R+i\pi\), \(-R+i\pi\))
5
\(\displaystyle \int_0^{+\infty}{\mathrm{Log}^2 x\over 1+x^2}\ dx\)
6
\(\displaystyle \int_0^{+\infty}{\mathrm{Log} x\over (1+x)^3}\ dx\)