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On considère la fonction méromorphe $f(z)=\frac{z^2}{1+z^4}$ sur $\Cc$ .

Montrer que $zf(z)$ a une limite quand $|z|$ tend vers $+\infty$ .

Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx$ converge.

Déterminer les pôles de $f$ contenus dans le demi-plan $\mathbb{H}:=\{z\in\Cc, Im(z)>0\}$ et leurs résidus.

En intégrant sur le chemin $\Gamma$ défini par \[

Diagramme TikZ 1

\] montrer que

\int_{-r}^rf(x)dx+\int_{\partial(\Delta_r\cap\mathbb{H})} f(z)dz=2i\pi\sum_{c\in\mathbb{H}}Res_c(f).

Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.$

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