L3 Analyse complexe Théorème des résidus 5 questions

exo7 7582

On considère la fonction méromorphe \(f(z)=\frac{z^2}{1+z^4}\) sur \(\Cc\).

1

Montrer que \(zf(z)\) a une limite quand \(|z|\) tend vers \(+\infty\).

2

Montrer que \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx\) converge.

3

Déterminer les pôles de \(f\) contenus dans le demi-plan \(\mathbb{H}:=\{z\in\Cc, Im(z)>0\}\) et leurs résidus.

4

En intégrant sur le chemin \(\Gamma\) défini par \[

Diagramme TikZ 1

\] montrer que \[\int_{-r}^rf(x)dx+\int_{\partial(\Delta_r\cap\mathbb{H})} f(z)dz=2i\pi\sum_{c\in\mathbb{H}}Res_c(f).\]

5

Montrer que \[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.\]