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Soit $g$ une fonction analytique ayant un zéro simple en $z_0$, et $f$ une autre fonction analytique définie dans un voisinage de $z_0$. Montrer $$\mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}\;.$$

On suppose que $g$ a un zéro d’ordre $n$: $g(z_0+h) = h^n (c_0 + c_1 h + \dots)$, $c_0\neq0$, et l’on écrit $f(z_0+h) = a_0 + a_1 h +\dots$. Montrer: $$\mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = e_{n-1}$$ avec $e_0$, $e_1$, …, obtenus par la division suivant les puissances croissantes (comme dans les calculs de développement limités): $$\frac{a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \dots}{c_0 + c_1 h + c_2 h^2 + \dots} = e_0 + e_1 h + e_2 h^2 +\dots \;.$$