1
Soit \(g\) une fonction analytique ayant un zéro simple en \(z_0\), et \(f\) une autre fonction analytique définie dans un voisinage de \(z_0\). Montrer \[\mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}\;.\]
2
On suppose que \(g\) a un zéro d’ordre \(n\): \(g(z_0+h) = h^n (c_0 + c_1 h + \dots)\), \(c_0\neq0\), et l’on écrit \(f(z_0+h) = a_0 + a_1 h +\dots\). Montrer: \[\mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = e_{n-1}\] avec \(e_0\), \(e_1\), …, obtenus par la division suivant les puissances croissantes (comme dans les calculs de développement limités): \[\frac{a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \dots}{c_0 + c_1 h + c_2 h^2 + \dots} = e_0 + e_1 h + e_2 h^2 +\dots \;.\]