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Démontrer que les intégrales $I(a)=\int_0^{+\infty}{\sinh(ax)\over\sinh(x)}\ dx$ et $J(a)=\int_0^{+\infty}{\cosh(ax)\over\cosh(x)}\ dx$ sont convergentes.

Soit $\epsilon$ et $R$ des réels tels que $0<\epsilon<{\pi\over2}<R$, $K_{\epsilon,R}\subset\Cc$ le compact obtenu en ôtant du rectangle de sommets $R,R+i{\pi\over2},R+i{\pi\over2},-R$, la demi-boule ouverte de centre $0$ et de rayon $\epsilon$, et $f(z)=\displaystyle{e^{az}\over e^z-e^{-z}}$.

Montrer que $\lim _{R\to+\infty} \int_\gamma f(z)\ dz=0$ lorsque $\gamma$ est le segment $[R,R+i{\pi\over2}]$; puis le segment $[-R+i{\pi\over2},-R]$.

Calculer $\int_{\partial K_{\epsilon,R}} f(z)\ dz$ et la limite lorsque $\epsilon\to 0$ et $R\to+\infty$; en déduire les expressions de $I(a)$ et $J(a)$.