Soit \(a\) un réel tel que \(0\leq a<1\)
Démontrer que les intégrales \(I(a)=\int_0^{+\infty}{\sinh(ax)\over\sinh(x)}\ dx\) et \(J(a)=\int_0^{+\infty}{\cosh(ax)\over\cosh(x)}\ dx\) sont convergentes.
Soit \(\epsilon\) et \(R\) des réels tels que \(0<\epsilon<{\pi\over2}<R\), \(K_{\epsilon,R}\subset\Cc\) le compact obtenu en ôtant du rectangle de sommets \(R,R+i{\pi\over2},R+i{\pi\over2},-R\), la demi-boule ouverte de centre \(0\) et de rayon \(\epsilon\), et \(f(z)=\displaystyle{e^{az}\over e^z-e^{-z}}\).
Montrer que \(\lim _{R\to+\infty} \int_\gamma f(z)\ dz=0\) lorsque \(\gamma\) est le segment \([R,R+i{\pi\over2}]\); puis le segment \([-R+i{\pi\over2},-R]\).
Calculer \(\int_{\partial K_{\epsilon,R}} f(z)\ dz\) et la limite lorsque \(\epsilon\to 0\) et \(R\to+\infty\); en déduire les expressions de \(I(a)\) et \(J(a)\).