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Soit \(\gamma_n\) le chemin dont l’image \(\gamma_n^*\) est le rectangle de sommets \(\pm(n+\frac12)\pm in\) parcouru une fois dans le sens direct. Evaluer pour \(a\notin \Zz\) \[\int_{\gamma_n} \frac{\pi \mathrm{cotan}(\pi z)}{(z+a)^2} \,dz\ .\] Montrer que l’on a \[\lim_{n\to \infty} \int_{\gamma_n} \frac{\pi \mathrm{cotan}(\pi z)}{(z+a)^2} \,dz = 0\ .\] (On pourra établir auparavant que, si \(z\) appartient à \(\gamma_n^*\) et si \(n\) est assez grand, on a \(|\mathrm{cotan}(\pi z)|\le 2\).) En déduire (cf. exercice [gijsexoav]) que \(\displaystyle \sum_{n\in \Zz} \frac1{(a+n)^2} = \left( \frac{\pi}{\sin(\pi a)} \right)^2\).