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Soit $\gamma_n$ le chemin dont l’image $\gamma_n^*$ est le rectangle de sommets $\pm(n+\frac12)\pm in$ parcouru une fois dans le sens direct. Evaluer pour $a\notin \Zz$ $$\int_{\gamma_n} \frac{\pi \mathrm{cotan}(\pi z)}{(z+a)^2} \,dz\ .$$ Montrer que l’on a $$\lim_{n\to \infty} \int_{\gamma_n} \frac{\pi \mathrm{cotan}(\pi z)}{(z+a)^2} \,dz = 0\ .$$ (On pourra établir auparavant que, si $z$ appartient à $\gamma_n^*$ et si $n$ est assez grand, on a $|\mathrm{cotan}(\pi z)|\le 2$.) En déduire (cf. exercice [gijsexoav]) que $\displaystyle \sum_{n\in \Zz} \frac1{(a+n)^2} = \left( \frac{\pi}{\sin(\pi a)} \right)^2$.