exo7 7560

Soit aa un nombre réel tel que ∣a∣≤1|a|\leq 1. On considère la fonction f:C→Cf :\Cc\to\Cc, z↦e−z2z\mapsto e^{-z^2} et pour tout réel strictement positif rr, les chemins suivants dans le plan complexe \setlength{\unitlength}{.4in} \begin{picture}(7,3.5)(0,-.25) \linethickness{1pt} \put(0,0){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(0,1){3}} \put(0,0){\line(4,3){4}} \put(2,-.25){\makebox(0,0){$\gamma_1\to$}} \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$\uparrow\gamma_2$}} \put(2,2){\makebox(0,0){$\gamma_3\nearrow$}} \put(-.25,-.25){\makebox(0,0){$0$}} \put(4.25,-.25){\makebox(0,0){$r$}} \put(4.25,3.25){\makebox(0,0){$r(1+ai)$}} \end{picture}

1

Calculer ∫γ1f(z)dz\int_{\gamma_1}f(z)dz.

2

Montrer que ∣∫γ2f(z)dz∣≤1r.|\int_{\gamma_2}f(z)dz|\leq \frac{1}{r}.

3

En déduire ∫0+∞e−(1+ai)2t2dt=π211+ia.\int_0^{+\infty}e^{-(1+ai)^2t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{1+ia}.

4

En déduire les valeurs des intégrales ∫0+∞cos⁡(t2)dt\int_0^{+\infty}\cos(t^2)dt et ∫0+∞sin⁡(t2)dt\int_0^{+\infty}\sin(t^2)dt.

Exercice MbSa

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