Soit \(a\) un nombre réel tel que \(|a|\leq 1\). On considère la fonction \(f :\Cc\to\Cc\), \(z\mapsto e^{-z^2}\) et pour tout réel strictement positif \(r\), les chemins suivants dans le plan complexe \[\setlength{\unitlength}{.4in} \begin{picture}(7,3.5)(0,-.25) \linethickness{1pt} \put(0,0){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(0,1){3}} \put(0,0){\line(4,3){4}} \put(2,-.25){\makebox(0,0){$\gamma_1\to$}} \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$\uparrow\gamma_2$}} \put(2,2){\makebox(0,0){$\gamma_3\nearrow$}} \put(-.25,-.25){\makebox(0,0){$0$}} \put(4.25,-.25){\makebox(0,0){$r$}} \put(4.25,3.25){\makebox(0,0){$r(1+ai)$}} \end{picture}\]
Calculer \(\int_{\gamma_1}f(z)dz\).
Montrer que \(|\int_{\gamma_2}f(z)dz|\leq \frac{1}{r}.\)
En déduire \[\int_0^{+\infty}e^{-(1+ai)^2t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{1+ia}.\]
En déduire les valeurs des intégrales \(\int_0^{+\infty}\cos(t^2)dt\) et \(\int_0^{+\infty}\sin(t^2)dt\).