1
Déterminer \[\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^3}\] Pour ce calcul, on considérera le contour allant le long de l’axe réel de \(0\) à \(R\) puis de \(R\) à \(j R\) le long d’un cercle puis de \(jR\) à \(0\) par un segment (\(j = \exp(i\frac{2\pi}3)\)). On écrira d’une part chacune des trois contributions à l’intégrale de contour, en faisant attention au sens de parcours, et l’on utilisera d’autre part le théorème des résidus.
2
On note, pour \(|w| = 1\) et certaines valeurs spéciales de \(w\) (que l’on précisera) étant exclues, \(J(w)\) l’intégrale \(\int \frac{dz}{1+z^3}\) le long du segment infini \(w\Rr^+\). Déterminer \(J(w)\) en fonction de \(w\).