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Déterminer $$\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^3}$$ Pour ce calcul, on considérera le contour allant le long de l’axe réel de $0$ à $R$ puis de $R$ à $j R$ le long d’un cercle puis de $jR$ à $0$ par un segment ($j = \exp(i\frac{2\pi}3)$). On écrira d’une part chacune des trois contributions à l’intégrale de contour, en faisant attention au sens de parcours, et l’on utilisera d’autre part le théorème des résidus.

On note, pour $|w| = 1$ et certaines valeurs spéciales de $w$ (que l’on précisera) étant exclues, $J(w)$ l’intégrale $\int \frac{dz}{1+z^3}$ le long du segment infini $w\Rr^+$. Déterminer $J(w)$ en fonction de $w$.