Le polynôme \(P(z) = z^4+z^2+1\) a pour racines les racines carrées de \(j\) et \(j^2\), soit \(\pm j^2\) et \(\pm j\). Seuls \(j\) et \(-j^2\) ont une partie imaginaire positive, donc \[I = 2i\pi (\mbox{\rm Res}(1/P, j) + \mbox{\rm Res}(1/P, -j^2)) = 2i\pi \left({1\over P'(j)} + {1\over P'(-j^2)}\right) = {\pi \over \sqrt 3}.\]

Puis on a \[J = {1\over 2} \int_{-\infty }^{+\infty } {1-\cos 2x\over x^4+x^2+1}\,dx = {1\over 2} I -{1\over 2} \int_{-\infty }^{+\infty } {\cos 2x\over x^4+x^2+1}\,dx = (I-K)/2\] On a par la même méthode \[K = 2i\pi \left({e^{2i j}\over P'(j)} + {e^{2i (-j^2)}\over P'(-j^2)}\right)\] Or \[e^{2ij} = \exp\left(2i \left(1 +i\sqrt 3 \over 2\right)\right) = e^{-\sqrt3 -i}\] et de même \(e^{2i(-j^2)}= e^{-\sqrt 3+i}\). Finalement \[J = {\pi \over 2\sqrt 3} \left[ 1 -e^{-\sqrt3} \left(\sqrt 3\sin 1 +\cos1\right)\right].\]

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