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Justifier \(\int_\Rr \frac{e^{i\xi x}}{1 + x^2}dx = \int_\Rr \frac{\cos(\xi x)}{1 + x^2}dx\) pour \(\xi\in\Rr\). Prouver par un calcul de résidu \[\int_\Rr \frac{e^{i\xi x}}{1 + x^2}dx = \pi e^{-|\xi|}\;.\] Suivant le cas \(\xi\geq0\) ou \(\xi<0\) on complètera le segment \([-R,+R]\) par un semi-cercle dans le demi-plan supérieur, ou inférieur, afin que la contribution du semi-cercle tende vers \(0\) pour \(R\to\infty\). On peut aussi observer que l’intégrale est une fonction paire de \(\xi\) et que l’on peut donc se restreindre à \(\xi\geq0\).