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Justifier $\int_\Rr \frac{e^{i\xi x}}{1 + x^2}dx = \int_\Rr \frac{\cos(\xi x)}{1 + x^2}dx$ pour $\xi\in\Rr$. Prouver par un calcul de résidu $$\int_\Rr \frac{e^{i\xi x}}{1 + x^2}dx = \pi e^{-|\xi|}\;.$$ Suivant le cas $\xi\geq0$ ou $\xi<0$ on complètera le segment $[-R,+R]$ par un semi-cercle dans le demi-plan supérieur, ou inférieur, afin que la contribution du semi-cercle tende vers $0$ pour $R\to\infty$. On peut aussi observer que l’intégrale est une fonction paire de $\xi$ et que l’on peut donc se restreindre à $\xi\geq0$.