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Déterminer toutes les fonctions holomorphes définies sur le plan complexe tout entier vérifiant : $|f(z)| \geq 1$ .

On considère une fonction $f$ holomorphe dans le disque unité, vérifiant $|f(z)| \leq 1$, que peut on dire de $|f'(0)|$ ?

Soit $n_0$ un nombre entier naturel et $f$ une fonction holomorphe définie sur le plan complexe tout entier vérifiant $|f(z)|\leq |z|^{n_{0}}$. Montrer que $f$ est un polynôme de degré au plus $n_{0}$.

Soient $\Omega$ un ouvert connexe et $D$ une droite, $f$ une fonction continue sur $\Omega$, holomorphe sur la restriction $\Omega - \{D\}$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\Omega$ tout entier.