Soit \(f\) analytique sur un disque \(|z - z_0|\leq R\) et telle qu’il existe un certain \(z_1\) avec \(|z_1 - z_0|<R\) tel que \(|f(z)|>|f(z_1)|\) pour \(|z-z_0| = R\). Montrer que \(f\) s’annule au moins une fois dans le disque ouvert \(D(z_0,R)\). Indication : considérer sinon ce que dit le principe du maximum pour la fonction \(\frac1f\).
Théorème de Hurwitz. Soit \(f_n\) des fonctions holomorphes sur un voisinage commun \(U\) de \(\overline{D(0,1)}\) qui convergent uniformément sur \(U\). Soit \(F\) la fonction limite. On suppose que \(F\) n’a aucun zéro sur le cercle \(|z|=1\), et qu’elle a au moins un zéro dans le disque ouvert \(D(0,1)\). Montrer en appliquant la question précédente à \(f_n\) que pour \(n\gg1\) la fonction \(f_n\) a au moins un zéro dans \(D(0,1)\).1 Ce résultat est souvent appliqué sous sa forme réciproque: si des fonctions holomorphes \(f_n\) sans zéro convergent uniformément sur un ouvert connexe vers \(F\) alors soit \(F\) est identiquement nulle soit \(F\) n’a aucun zéro. Justifier cette dernière reformulation.
On verra plus tard en cours ou en exercice que pour \(n\gg1\) chaque \(f_n\) a, comptés avec leurs multiplicités, exactement le même nombre de zéros que \(F\) dans \(D(0,1)\).↩︎