exo7 2828

Soit $f$ analytique sur un disque $|z - z_0|\leq R$ et telle qu’il existe un certain $z_1$ avec $|z_1 - z_0|<R$ tel que $|f(z)|>|f(z_1)|$ pour $|z-z_0| = R$. Montrer que $f$ s’annule au moins une fois dans le disque ouvert $D(z_0,R)$. Indication : considérer sinon ce que dit le principe du maximum pour la fonction $\frac1f$.

Théorème de Hurwitz. Soit $f_n$ des fonctions holomorphes sur un voisinage commun $U$ de $\overline{D(0,1)}$ qui convergent uniformément sur $U$. Soit $F$ la fonction limite. On suppose que $F$ n’a aucun zéro sur le cercle $|z|=1$, et qu’elle a au moins un zéro dans le disque ouvert $D(0,1)$. Montrer en appliquant la question précédente à $f_n$ que pour $n\gg1$ la fonction $f_n$ a au moins un zéro dans $D(0,1)$.¹ Ce résultat est souvent appliqué sous sa forme réciproque: si des fonctions holomorphes $f_n$ sans zéro convergent uniformément sur un ouvert connexe vers $F$ alors soit $F$ est identiquement nulle soit $F$ n’a aucun zéro. Justifier cette dernière reformulation.