exo7 2825

Soit $f$ une fonction continue sur $\overline{D(0,1)}$, holomorphe sur $D(0,1)$, nulle sur le cercle de rayon $1$. Montrer que $f$ est identiquement nulle.

Plus fort: on ne suppose plus que $f(e^{i\theta})$ est nulle pour tout $\theta$ mais seulement pour $0\leq\theta\leq\pi$. Montrer que $f$ est identiquement nulle. Indication : $f(z)f(-z)$.