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Soit \(f\) une fonction holomorphe sur \(\overline\Omega\setminus\{z_1, \dots, z_N\}\), avec \(\Omega\) le domaine intérieur à une courbe de Jordan \(\gamma\). Soit \(g_n(z)\) la partie principale (partie singulière) de \(f\) en la singularité isolée \(z_n\). Prouver la formule intégrale générale de Cauchy: \[\forall z\in \Omega\setminus\{z_1,\dots,z_N\}\qquad f(z) = \sum_{1\leq n\leq N} g_n(z) + \frac1{2\pi i }\int_{\partial\Omega}\frac{f(w)}{w-z}dw\] Pour cela, remarquer d’abord \(\mathrm{Res}(\frac{f(w)}{w-z},z_n)= \mathrm{Res}(\frac{g_n(w)}{w-z},z_n)\); puis montrer que le résidu à l’infini de la fonction \(\frac{g_n(w)}{w-z}\) de \(w \in \Cc\setminus\{z_n\}\), est nul. On pourra utiliser l’exercice [exo:residuinfini].