exo7 2857

Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\overline\Omega\setminus\{z_1, \dots, z_N\}$, avec $\Omega$ le domaine intérieur à une courbe de Jordan $\gamma$. Soit $g_n(z)$ la partie principale (partie singulière) de $f$ en la singularité isolée $z_n$. Prouver la formule intégrale générale de Cauchy: $$\forall z\in \Omega\setminus\{z_1,\dots,z_N\}\qquad f(z) = \sum_{1\leq n\leq N} g_n(z) + \frac1{2\pi i }\int_{\partial\Omega}\frac{f(w)}{w-z}dw$$ Pour cela, remarquer d’abord $\mathrm{Res}(\frac{f(w)}{w-z},z_n)= \mathrm{Res}(\frac{g_n(w)}{w-z},z_n)$; puis montrer que le résidu à l’infini de la fonction $\frac{g_n(w)}{w-z}$ de $w \in \Cc\setminus\{z_n\}$, est nul. On pourra utiliser l’exercice [exo:residuinfini].