Si $A=R\cos (\Phi)$ et $B=R\sin (\Phi)$ on a $\int _0^{2\pi} \frac{d\theta}{A+B\sin(\theta )+C\cos(\theta )} = \int _0^{2\pi} \frac{d\theta}{A+R\sin(\theta +\Phi)} =\int _0^{2\pi} \frac{d\alpha}{A+R\sin(\alpha )}.$ Pour trouver la valeur de cette dernière intégrale posons $z=e^{i\alpha }$ . Alors $d\alpha = -i \frac{dz}{z}$ et $I=\int _0^{2\pi} \frac{d\alpha}{A+R\sin(\alpha )} = \int _{|z|=1} \frac{-i\, dz}{z( A+R\frac{z-\overline{z}}{2i})}= \int _{|z|=1} \frac{2 dz}{Rz^2 +2iAz -R}.$ Le dénominateur de cette dernière expression s’annule en $z^\pm =\frac{-2iA\pm \sqrt{-4A^2+4R^2}}{2R}= -i\left( \frac{A}{R} \mp \sqrt{\left(\frac{A}{R} \right)^2 -1} \right)$ Un calcul élémentaire montre que seulement la racine $z^+= -i\left( \frac{A}{R} - \sqrt{\left(\frac{A}{R} \right)^2 -1} \right)$ est dans le disque unité ouvert pourvu que $A>0$ (le cas $A<0$ est similaire). Il s’ensuit par le théorème du résidu que $\frac{1}{2\pi}I= i \frac{2}{R}\frac{1}{z^+-z^-}= \frac{1}{R\sqrt{\left(\frac{A}{R} \right)^2 -1}}=\frac{1}{\sqrt{A^2-R^2}}.$

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