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Soit $f$ une fonction analytique pour $\{|z|>R\}$. On pose: $$\mathrm{Res}(f,\infty) = - \frac1{2\pi i}\int_{C_r} f(z)dz$$ avec $C_r$ le cercle $\{|z| = r\}$ parcouru dans le sens direct. Montrer que le terme de droite est bien indépendant de $r>R$. On notera le signe $-$. On dit que $\mathrm{Res}(f,\infty)$ est le “résidu à l’infini” de $f$. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Cc$ à l’exception d’un nombre fini de singularités isolées. Montrer le théorème suivant: la somme de tous les résidus (y compris celui à l’infini) de $f$ est nulle.