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[exo:residuinfini] Soit \(f\) une fonction analytique pour \(\{|z|>R\}\). On pose: \[\mathrm{Res}(f,\infty) = - \frac1{2\pi i}\int_{C_r} f(z)dz\] avec \(C_r\) le cercle \(\{|z| = r\}\) parcouru dans le sens direct. Montrer que le terme de droite est bien indépendant de \(r>R\). On notera le signe \(-\). On dit que \(\mathrm{Res}(f,\infty)\) est le “résidu à l’infini” de \(f\). Soit \(f\) une fonction holomorphe sur \(\Cc\) à l’exception d’un nombre fini de singularités isolées. Montrer le théorème suivant: la somme de tous les résidus (y compris celui à l’infini) de \(f\) est nulle.