1
On considère le bord \(\mathcal{C}\) du triangle de sommet : \(z=0\), \(z=1\), et \(z=i\), orienté dans le sens direct. Calculer les intégrales \(\int_{\mathcal{C}} xdz \quad \text{ et } \quad \int_{\mathcal{C}} ze^{z}dz.\)
2
Soit le cercle unité \(\mathcal{C}\) parcouru dans le sens direct. Pour tout entier relatif \(n\), calculer l’intégrale \(\int_{\mathcal{C}} z^{n}dz.\) Expliquer le cas particulier où \(n=-1\).
3
Montrer \(\left|\int_\gamma \frac{dz}{z^2+1}\right| \le \frac{\pi}{3}, \mbox{ lorsque }\gamma(t)=2e^{it}, \; 0\le t\le \frac{\pi}{2}.\)
4
Montrer \(\left|\int_\gamma \frac{e^z}{z} dz\right| \le \pi e, \mbox{ lorsque }\gamma(t)=e^{it}, \; 0\le t\le \pi.\)