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Soit $\mathcal{R} = \{x_0\leq x\leq x_1, y_0\leq y\leq y_1\}$ un rectangle. En utilisant le théorème des résidus justifier la formule intégrale de Cauchy pour $z$ dans l’intérieur du rectangle et $f$ holomorphe sur le rectangle fermé: $$f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\partial\mathcal{R}} \frac{f(w)}{w-z}dw$$ Démontrer ce résultat de manière plus simple, directement à partir du théorème de Cauchy-Goursat pour les fonctions holomorphes sur les rectangles, en utilisant la fonction $w\mapsto (f(w)-f(z))/(w-z)$ (et aussi la notion d’indice d’un lacet). Dans le cas où $z$ est à l’extérieur du rectangle $\mathcal{R}$, que vaut $\int_{\partial\mathcal{R}} \frac{f(w)}{w-z}dw$?