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Soit \(\mathcal{R} = \{x_0\leq x\leq x_1, y_0\leq y\leq y_1\}\) un rectangle. En utilisant le théorème des résidus justifier la formule intégrale de Cauchy pour \(z\) dans l’intérieur du rectangle et \(f\) holomorphe sur le rectangle fermé: \[f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\partial\mathcal{R}} \frac{f(w)}{w-z}dw\] Démontrer ce résultat de manière plus simple, directement à partir du théorème de Cauchy-Goursat pour les fonctions holomorphes sur les rectangles, en utilisant la fonction \(w\mapsto (f(w)-f(z))/(w-z)\) (et aussi la notion d’indice d’un lacet). Dans le cas où \(z\) est à l’extérieur du rectangle \(\mathcal{R}\), que vaut \(\int_{\partial\mathcal{R}} \frac{f(w)}{w-z}dw\)?