[ex:burnol1.4] Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert convexe \(U\). Soit \(z_1\in U\), on suppose que le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) en \(z_1\) est \(R_1\). De même, en \(z_2\in U\), on suppose que le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) est \(R_2\). Soit \(g_1\) sur le disque ouvert \(D(z_1,R_1)\) la somme de la série de Taylor de \(f\) en \(z_1\) et de même \(g_2\) sur \(D(z_2,R_2)\). Soit \(V = D(z_1,R_1)\cap D(z_2,R_2)\). Montrer que si \(V\) est non vide alors \(g_1 = g_2\) sur \(V\). On commencera par montrer que \(V\cap U\) est non vide aussi. Attention: en général, sans hypothèse spéciale comme la convexité de \(U\) cela est complètement faux; donner un exemple, avec \(U\) connexe, mais pas convexe, tel que \(g_1\neq g_2\) sur \(V\) (et on peut même faire avec \(V\cap U\neq\emptyset\)). Il suffira d’utiliser l’exercice [ex:burnol1.1].
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