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Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert convexe $U$. Soit $z_1\in U$, on suppose que le rayon de convergence de la série de Taylor de $f$ en $z_1$ est $R_1$. De même, en $z_2\in U$, on suppose que le rayon de convergence de la série de Taylor de $f$ est $R_2$. Soit $g_1$ sur le disque ouvert $D(z_1,R_1)$ la somme de la série de Taylor de $f$ en $z_1$ et de même $g_2$ sur $D(z_2,R_2)$. Soit $V = D(z_1,R_1)\cap D(z_2,R_2)$. Montrer que si $V$ est non vide alors $g_1 = g_2$ sur $V$. On commencera par montrer que $V\cap U$ est non vide aussi. Attention: en général, sans hypothèse spéciale comme la convexité de $U$ cela est complètement faux; donner un exemple, avec $U$ connexe, mais pas convexe, tel que $g_1\neq g_2$ sur $V$ (et on peut même faire avec $V\cap U\neq\emptyset$). Il suffira d’utiliser l’exercice [ex:burnol1.1].