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Soit $\Omega$ l’ouvert habituel sur lequel est défini $\mathrm{Log}\, z$. Justifier pour tout $z\in\Omega$ $$\mathrm{Log}(z) = \int_0^1 \frac{z-1}{1+t(z-1)}dt\;,$$ et donner une formule intégrale explicite pour le reste $R_N(z)$ dans: $$\mathrm{Log}(z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}2 + \frac{(z-1)^3}3 - \dots + (-1)^{N-1}\frac{(z-1)^{N}}N + R_N(z) \;.$$

On suppose $\Re(z)\geq\delta$ pour un certain $\delta\in]0,1[$. Prouver : $$|R_N(z)|\leq \frac1\delta\frac{|z-1|^{N+1}}{N+1}$$ On minorera $|1+t(z-1)|$ par $\delta$.

En déduire que la série de Taylor de $\mathrm{Log}$ au point $1$ est uniformément convergente sur le compact $\{|z-1|\leq1, \delta\leq\Re(z)\}$.

Pour $-\pi<\phi<+\pi$ on pose $z = 1 + e^{i\phi}$. Déterminer les coordonnées polaires $|z|$ et $\mathrm{Arg}(z)$ de $z$ en fonction de $\phi$. Déduire de ce qui précède les identités suivantes, pour tout $\phi\in]-\pi,+\pi[$: $$\begin{align*} \log(2\cos \frac\phi2) &= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{\cos k\phi}k \\ \frac\phi2 &= \sum_{k=1} (-1)^{k-1} \frac{\sin k\phi}k \end{align*}$$ et le fait que ces séries sont uniformément convergentes sur tout intervalle $[-\pi+\epsilon,+\pi-\epsilon]$ ($0<\epsilon<\pi$).