Soit \(\Omega\) l’ouvert habituel sur lequel est défini \(\mathrm{Log}\, z\). Justifier pour tout \(z\in\Omega\) \[\mathrm{Log}(z) = \int_0^1 \frac{z-1}{1+t(z-1)}dt\;,\] et donner une formule intégrale explicite pour le reste \(R_N(z)\) dans: \[\mathrm{Log}(z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}2 + \frac{(z-1)^3}3 - \dots + (-1)^{N-1}\frac{(z-1)^{N}}N + R_N(z) \;.\]
On suppose \(\Re(z)\geq\delta\) pour un certain \(\delta\in]0,1[\). Prouver : \[|R_N(z)|\leq \frac1\delta\frac{|z-1|^{N+1}}{N+1}\] On minorera \(|1+t(z-1)|\) par \(\delta\).
En déduire que la série de Taylor de \(\mathrm{Log}\) au point \(1\) est uniformément convergente sur le compact \(\{|z-1|\leq1, \delta\leq\Re(z)\}\).
Pour \(-\pi<\phi<+\pi\) on pose \(z = 1 + e^{i\phi}\). Déterminer les coordonnées polaires \(|z|\) et \(\mathrm{Arg}(z)\) de \(z\) en fonction de \(\phi\). Déduire de ce qui précède les identités suivantes, pour tout \(\phi\in]-\pi,+\pi[\): \[\begin{align*} \log(2\cos \frac\phi2) &= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{\cos k\phi}k \\ \frac\phi2 &= \sum_{k=1} (-1)^{k-1} \frac{\sin k\phi}k \end{align*}\] et le fait que ces séries sont uniformément convergentes sur tout intervalle \([-\pi+\epsilon,+\pi-\epsilon]\) (\(0<\epsilon<\pi\)).